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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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1. Calcule las siguientes derivadas
a) f(x)=sen⁡(x),f(5)(x),f(70)(x)f(x)=\operatorname{sen}(x), \quad f^{(5)}(x), f^{(70)}(x)

Respuesta

Vamos a empezar calculando la derivada quinta de f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)

f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
f′′(x)=−sin⁡(x)f''(x) = -\sin(x)
f′′′(x)=−cos⁡(x)f'''(x) = -\cos(x)
f(4)=sin⁡(x)f^{(4)} = \sin(x)
f(5)=cos⁡(x)f^{(5)} = \cos(x)

Perfecto, entonces ya podemos responder a la primera pregunta, f(5)=cos⁡(x)f^{(5)} = \cos(x)

Ups, pero ahora nos pregunta por la derivada 7070 (!?) Claramente no vamos a derivar 7070 veces esto, ni tampoco el ejercicio lo espera. La idea es que, habiendo calculado las primeras derivadas de ff, podamos encontrar algún patrón que nos permita calcular cualquier otra derivada sin problemas. 

En este caso, la clave está en darse cuenta que la cuarta derivada nos devuelve a la función original sin⁡(x) \sin(x) . Esto significa que el ciclo se repite cada 4 derivadas. Fijate que entonces la derivada 88, 1212, 1616, y así seguimos con todos los múltiplos de 44, va a ser sin⁡(x)\sin(x). 7070 no es múltiplo de 44, 6969 tampoco, pero 6868 si. Es decir que ya sabemos que f(68)=sin⁡(x)f^{(68)} = \sin(x). Y ahí seguir es muy fácil, y la derivada 7070 es

f(70)=−sin⁡(x)f^{(70)} = -\sin(x)
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